Konsep Dan Analisa Nilai Sentral

Setiap pengukuran aritmatika yang ditujukan untuk menggambarkan suatu nilai yang mewakili nilai pusat atau nilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral

Nilai sentral atau tendensi sentral adalah nilai dalam rangkaian data yang mewakili rangkaian data tersebut. Tendensi sentral merupakan suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi. Bila ukuran tersebut diambil dari sampel disebut statistik dan jika ukuran itu diambil dari populasi disebut parameter. Tendensi sentral digunakan untuk menggambarkan sifat sekumpulan data dari suatu pengamatan. Sentral Tendensial juga bisa disebut nilai yang representatif dalam suatu kelompok observasi atau studi.  Syarat-syaratnya adalah sebagai berikut:

1.      Harus dapat mewakili rangkaian data

2.      Perhitungannya harus didasarkan pada seluruh data

3.      Perhitungannya harus objektif

4.      Perhitungannya harus mudah

5.      Dalam suatu rangkaian hanya ada 1 nilai sentral

Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu mean (rata-rata hitung/rata-rata aritmetika), median, modus, kuartil, desi dan presentil.

Ukuran Tendensi Sentral

1. Mean

Arti dari mean tidak lain adalah “angka rata-rata”. Istilah Mean akan tetap dipakai disini oleh karena sudah lazim digunakan dalam statistik. Dari segi aritmetik Mean adalah “Jumlah nilai-nilai dibagi dengan jumlah individu”. Istilah mean saja merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean (rata-rata) merupakan jumlah seluruh nilai data dibagi dengan seluruh kejadian atau nilai rata-rata dari beberapa buah data.

Untuk keperluan ini, dalam perhitungan ukuran-ukuran statistik akan digunakan simbol-simbol. Nilai-nilai data kuantitatif  akan dinyatakan dengan x₁, x₂, …, x_n, apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbol n juga digunakan untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyaknya objek atau data yang diteliti dalam sampel. Rata-rata untuk data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyaknya data.

Perhitungan Mean Data Yang Tidak Dikelompokkan (Ungrouped Data)

Penggunaan data tidak dikelompokkan maupun data yang dikelompokkan data yang dikelompokkan umumnya berkaitan dengan jumlah data yang digunakan. Jika jumlah data yang digunakan relatif sedikit, rata-rata data yang tidak dikelompokkan (ungrouped data) menjadi pilihan untuk digunakan. Sebaliknya, jika jumlah data yang digunakan relatif banyak maka penggunaan data kelompok (grouped data) banyak dipilih.

Mean Data Kelompok

Untuk data berkelompok rumus rata-ratanya adalah jumlah hasil kali antara frekuensi dengan nilai data dibagi jumlah frekuensi; dimana  menyatakan frekuensi untuk nilai  yang bersesuaian.

Keterangan :

X₁: data ke 1

X₂: data ke 2

X_n: data ke n

f₁: frekuensi data ke 1

f₂: frekuensi data ke 2

f_n: frekuensi data ke n

n: jumlah data

x_i: nilai tengah    

Contoh menghitung rata-rata data kelompok:

Nilai	F	x
1 -5 6 -10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 - 50	3 7 4 3 7 9 6 7 8 6	3 8 13 18 23 28 33 38 43 48
	60

Jawab:

= {(3.3)+(7.8)+(4.13)+(3.18)+(7.23)+(9.28)+(6.33)+(7.38)+(8.43)+(6.48)}

                                                            60

={9+56+52+54+161+252+198+266+344+288}

                                              60

= 28

Kelebihan mean:

1.      Nilai rata-rata punyai sifat objektif

2.      Nilai rata-rata mudah dimengerti

3.      Nilai rata-rata mudah dihitung

4.      Perhitungan rata-rata didasarkan pada data keseluruhan sehingga nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangakaian data.

5.      Nilai rata-rata mempunyai stabilitas sampel

6.      Nilai rata-rata digunakan untuk perhitungan lebih lanjut

Kelemahan mean:

1.      Nilai rata-rata mudah dipengaruhi oleh nilai ekstrem, baik kecil maupun besar

2.      Pada distribusi yang condong, nilai rata-rata kurang mewakili

2. Median

Median (nilai tengah), adalah suatu nilai yang membatasi 50% dari frekuensi distribusi sebelah atas dan 50% frekuensi distribusi sebelah bawah atau merupakan nilai tengah dari rangkaian data yang telah tersusun secara teratur. Atau sebagai ukuran letak, karena median membagi distribusi menjadi 2 bagian yang sama. Median menentukan letak data setelah data itu disusun menurut urutan nilainya.

Perhitungan Median Data Yang Tidak Dikelompokkan (Ungrouped Data)

Langkah-langkahnya antara lain:

• Urutkan data dari terkecil ke terbesar atau dari terbesar ke terkecil. Dalam pembahasan ini, urutan data selalu dimulai dari terkecil ke terbesar.
• Tentukan letak median dengan formulasi     

§  Untuk kasus jumlah data ganjil, nilai tengah dari observasi yang sudah di urutkan merupakan nilai median sementara untuk kasus jumlah data genap, nilai median merupakan rata-rata dari dua data yang berada pada letak median untuk data yang sudah diurutkan.

Median Data Tunggal

Jika banyak data ganjil maka median setelah data disusun menurut nilainya merupakan data paling tengah.

Keterangan :

n= Jumlah data

Contoh:

Diketahui data :2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7. Hitung median data tersebut!

                

  

 

Data ke-5,5 berada diantara angka 4 dan 5 maka ….

Median=   4+5

2

= 4,5

Median Data Kelompok

Keterangan :

L_m= true lower limit atau batas bawah sesungguhnya dari kelas dengan frekuensi paling tinggi (tepi bawah kelas median)

n= Jumlah Frekuensi

∑f= Frekuensi kumulatif diatas kelas median

f_m= Frekuensi kelas median (frekuensi tertinggi dari kelas interval)

c= interval kelas median

Contoh:

Menghitung  Median data kelompok:

Nilai	Fm	F
1 -5 6 -10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 - 50	3 7 4 3 7 9 6 7 8 6	3 10 14 17 24 33 39 46 54 60
	60

Jawab:

Kelas median= 1/2.n

                      = ½.60

                      = 30

Berada pada kelas 26-30

L_m= 26 - 0,5 = 25,5

n   = 60                      ∑f   = 24

c   = 5                        f_m    = 9

Median = L_m + ( n/2 - ∑f ) . c

                               f_m

= 25,5 + (60/2 – 24) . 5

                              9

= 25,5 + (30 – 24) . 5

= 25,5 + 0,67 . 5

= 25,5 +3,35

= 28,85

Median memiliki kelebihan dan kekurangan antara lain:

Kelebihan:

1.      Cocok untuk data heterogen

2.      Median digunakan bila terdapat data yang ekstrim dalam sekelompok data

Kekurangan:

1.      Tidak mempertimbangkan semua nilai

2.      Kurang dapat menggambarkan mean populasi

3.      Modus

Modus, merupakan nilai data yang memiliki frekuensi terbesar atau dengan kata lain, nilai data yang paling sering terjadi. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata data kualitatif. Misalnya banyak kematian di Indonesia disebakan oleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalulintas karena kecerobohan pengemudi, maka tidak lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas. Cara menentukan modus amat sangat mudah hanya dengan mengamati data yang paling sering muncul. Dalam satu rangkaian data, kadang dijumpai adanya 1 modus, 2 modus atau tidak ada modus.

Perhitungan Modus Data Yang Tidak Dikelompokkan (Ungrouped Data)

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

·       Urutkan data dari terkecil ke terbesar atau dari terbesar ke terkecil

·       Cari modus dengan cara mencari nilai observasi yang paling banyak muncul. Bisa terjadi dalam satu kumpulan data tidak terdapat modus atau bahkan memiliki modus lebih dari satu. Untuk kasus dimana ada 2 modus dikenal dengan sebutan bimodus atau untuk yang lebih dari 3 modus dikenal dengan multimodus.

Modus Data Tunggal

Dalam data tunggal, modus dapat dibatasi sebagai nilai variabel yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam distribusi. Cara menentukan modus data tunggal yakni dengan mengamati data yang paling sering muncul.

Contoh modus data tunggal:

Berapakah modus dari data berikut : 1, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Jawab:

Modus= 4 , karena angka 4 muncul paling banyak yaitu 3 kali.

Modus Data Kelompok

Untuk data  kualitatif yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi (data berkelompok), modusnya dapat ditentukan dengan rumus:

dengan:

L_mo = Tepi bawah kelas modus

d₁ = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus

d₂ = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus

c = interval kelas modus

            Contoh menghitung  Modus data kelompok:

Nilai	Fmo	F
1 -5 6 -10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 - 50	3 7 4 3 7 9 6 7 8 6	3 10 14 17 24 33 39 46 54 60
	60

Jawab:

Diketahui: Kelas modus 26–30 (karena memiliki frekuensi terbanyak = 9)

L_mo = 26 – 0,5 = 25,5

d₁ = 9 – 7 = 2

d₂ = 9 – 6 = 3

c   = 5

Ditanyakan: nilai Modus 

Jawab:

M_o    = L_mo +      d₁       . c

                           d₁ + d₂

            = 25,5 +       2       .  5

                           2 +  3

            = 25,5 + 0,4 . 5

            = 25,5 + 2

            = 27,5

Modus dibandingkan ukuran lainnya, tidak tunggal adanya. Yang berarti sekumpulan data biasanya mempunyai lebih dari sebuah modus.

 Kelebihan:

1.                  Tidak peka atau tidak terpengaruh pada nilai ekstrem

2.                  Cocok untuk data homogen maupun heterogen (dapat digunakan untuk semua jenis data)

 Kekurangan:

1.      Kurang menggambarkan mean populasi

2.      Modus bisa lebih dari satu, atau tidak ada satu pun

3.      Teknik perhitungan ukuran ini kurang memiliki ketelitian

2.3       Kuartil, Desil dan Presentil

1)      Kuartil

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut kuartil. Ada tiga buah kuartil, yakni kuatil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat dengan Q₁, Q₂, dan Q₃. Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartilnya adalah:

a.     Susun data menurut urutan nilainya

b.     Tentukan letak kuartil

c.     Tentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i, diberi lambang Q_i, ditentukan oleh rumus:

Q₁= Kuartil bawah=

Q₂= Median= Kuartil Tengah=

Q₃= Kuartil atas=

Kuartil Data Tunggal

Contoh Kuartil data tunggal :

Sampel dengan data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 9.

Q₁=        1(13+1)

                      4

= 1.14

        4

= 14 : 4

= 3,5

Data ke-3.5 berada antara angka 4 dan 5 sehingga:

4+5 = 4.5

     2

Q₂=         2(13+1)

                      4

= 2(14)

       4

= 7

Data ke-7 adalah 6

Q₃=        3(13+1)

                4

= 3(14)

         4

   = 10.5

Data ke-10.5 berada diantara angka 7 dan 7, sehingga:

7+7 = 7

  2

Kuartil Data Berkelompok

Q_i = Tb + p { ( i/4.n )- F }

                             f

Keterangan:

i/4.n          = letak Q_i

T_b             = Tepi bawah interval kelas Q_i (T_b= batas bawah - 0,5)

p               = Panjang kelas interval

n               = Banyak data

F               = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

f                = Frekuensi pada kelas Qi 

Contoh Kuartil data berkelompok:

Hitunglah kuartil Dari data pada tabel dibawah ini !

Tabel Nilai Praktikum Komputer Mahasiswa
Nilai	F	F
51 – 55 56 – 60 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85 86 – 90 91 – 95 96 – 100	4 20 24 56 19 16 10 7 3 1	4 24 48 <Q1> 104 <Q2> 123 <Q3> 139 149 156 159 160
	160

Letak Q₁ = ¼. n

             = ¼.160

             = 40

Data ke-40 berada pada kelas 61-65

(Tb = 61 – 0,5 = 60,5)

Jadi :

Q₁ = Tb + p { (1/4.n –F)}

                             f

      = 60,5 + 5 { (1/4.160 – 24 )}

                                24

      = 60,5 + 5 {0,67}

      = 60,5 + 3,35 = 63,85

Letak Q₂ = ² /₄. n

             = ²/₄  . 160

             = 80

Data ke-80 berada pada kelas 66-70

(Tb = 66 – 0,5 = 65,5)

Jadi :

Q₂ = Tb + p { (2/4.n – F)}

                             f

      = 65,5 + 5 { (2/4.160 – 48 )}

                                 56

      = 65,5 + 5 {0,57}

      = 65,5 + 2,85 = 68,35

Letak Q3  = ³/₄ . n

= ^¾ _. 160

= 120

Data ke-120 berada pada kelas 71-75

(Tb = 71 – 0,5 = 70,5)

Jadi :

Q₃ = Tb + p { (3/4.n –F)}

                             f

= 70,5 + 5 { (3/4.160 – 104 )}

                                 19

= 70,5 + 5 {0,84}

= 70,5 + 4,2 = 74,7

2)      Desil

Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil. Karenanya ada sembilan buah desil, ialah desil pertama, desil ke-dua, …, desil ke-sembilan, yang disingkat D₁, D₂, …, D₉. Desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan:

·         Susun data menurut urutan nilainya

·         Tentukan letak desil

·         Tentukan nilai desil

Letak desil ke-i, diberi lambang D_i

Desil Data Tunggal

Contoh Desil data tunggal:

Tentukan D1, D3 dan D7 dari data : 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9(n=14)!

Jawab:

D_i = i ( n + 1 )

            10

D₁ = 1(14+1)

            10

= 15

   10

     = 1,5

Data ke 1,5 berada diantara angka 3 dan 4 jadi :

3+4 = 3,5

  2

D₃ = 3(14+1)

        10

       =  45

       10

       = 4,5

Data ke 4,5 berada diantara angka 5 dan 5 jadi :

5+5 = 5

  2

D₇ = 7(14+1)

          10

     = 105

         10

     = 10,5

Desil Data Kelompok

Untuk data berkelompok yang telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, desil ke-i

D_i (i= 1, 2, …, 9) dihitung dengan rumus:

dengan:

 i = 1, 2, …, 9.

T_b= batas bawah kelas D_i , ialah kelas interval dimana D_i  akan terletak.

p = panjang kelas D_i.

F = jumlah frekuenasi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas D_i.

f = frekuensi kelas D_i.

Contoh Desil pada data berkelompok :

Hitunglah D₅ dan D₉ dari data pada tabel berikut ini:

Tabel Nilai Praktikum Komputer Mahasiswa
Nilai	f	F
51 – 55 56 – 60 61 – 65 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85 86 – 90 91 – 95 96 – 100	4 20 24 56 19 16 10 7 3 1	4 24 48 104 <D5> 123 139 149 156 159 160
	160

Jawab:

D_i  = Tb + p { ( i/10.n )-F }

f

Letak D₅ = ⁵/₁₀ . n

             = ⁵/₁₀.160

             = 80

Data ke-80 berada pada kelas 66-70

(Tb = 66 – 0,5 = 65,5)

Jadi:

D₅ = Tb + p { (5/10.n –F)}

                            f

= 65,5+ 5 {(5/10.160 – 48 )}

                             56

= 65,5 + 5 {0,57}

     = 65,5 + 2,85 = 68,35

3)      Persentil

Sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama, akan menghasilkan 99 pembagi berturut-turut yang dinamakan persentil pertama, persentil kedua, …, persentil ke-99. Simbol yang digunakan berturut-turut P₁, P₂, …, P₉₉. Persentil ini dapat ditentukan dengan cara:

·         Susun data menurut urutan nilainya.

·         Tentukan letak presentil

·         Tentukan nilai presentil

Letak presentil ke-i, diberi lambang P.

Kesimpulan

Nilai sentral atau tendensi sentral adalah nilai dalam rangkaian data yang mewakili rangkaian data tersebut. Disebut juga sebagai ukuran letak/lokasi karena menunjukkan letak dari pusat atau sekumpulan data. Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu mean (rata-rata hitung/rata-rata aritmetika), median, modus, kuartil, desi dan presentil.

Data sangat bervariasi, baik data tunggal maupun berkelompok. Mean berarti rata-rata hitung, yaitu jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data. Median merupakan nilai tengah dari pengamatan setelah data dari terkecil ke terbesar atau dari terbesar ke terkecil. Sedangkan, modus adalah nilai dari pengamatan yang paling banyak muncul.

Ada pula, kuartil yang merupakan hasil pembagian sekumpulan data menjadi empat kelompok dengan batas-batas antar satu kuartil dengan kuartil lainnya. Selanjutnya, desil berupa sekumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh kelompok setelah data diurutkan dari terkecil ke terbesar. Begitu pun dengan presentil yang dibagi menjadi seratus kelompok setelah data diurutkan.